复合函数

今天有感而发，谈谈高一对复合函数(钓鱼补偿)的理解。。。

自变量

首先函数就不必多说了，f(x)这样的一个函数，
x是自变量，但在我看来括号内的所有东西组成的才是自变量。
比如: f(x),f(x-1),f(x+1)
然后

用顾名思义法就是，一个函数包着另一个函数。
比如:

f(x)=x+1
g(x)=x+2
f(g(x))就是一个复合函数

那么我记得等号两边可以互换，好像叫等量代换，所以

f(g(x))
=f(x+2) ①
=f(x) ②
=(x+2)+1 ③
①将g(x)与x+2替换
②重写回f(x)的形式，将自变量代入解析式
③最后得到解析式

到底是不是这样我也不知道，不过用来理解求定义域却是绰绰有余了
至于我为啥非要理解这个而不直接用老师给的方法(强迫症)

首先，举两个例子
1.已知f(x)的定义域，求f(x+1)的定义域
2.已知f(x+1)的定义域，求f(x)的定义域
面对这些抽象的东西，我们可以形象的理解。比如

f(x)=x+1 设1-<x<0
那么这就是一个简单的函数，并且定义域为(-1,0)
求f(x+1)的定义域
于是变一下f(x+1)
=f(g(x)),g(x)=x+1
于是我们发现这个f(g(x))的定义域(自变量的取值范围)就是g(x)的取值范围，我说过括号里面的是自变量
于是我们发现，自变量是一个函数g(x)=x+1的函数值的取值范围，也就是值域，所以
外层函数的定义域是内层函数的值域。

那么首先看例1

已知f(x)的定义域，求f(x+1)的定义域
看得出来f(x)是外层函数，x+1是内层函数的解析式，即
由f(x),g(x)=x+1得到复合函数f(g(x))，再把解析式代一下得到f(x+1)。
那么假设f(x)的定义域为(1,2)，f(x+1)里面的x+1的取值范围为(1,2)也就是1<x+1<2
那么解出来就是0<x<1

区分一下f(x),f(x+1)
f(x): 函数，自变量为x，定义域为x的取值范围
f(x+1): 复合函数，外层函数自变量为x+1，外层函数定义域为x+1的取值范围，内层函数自变量为x，内层函数定义域为x的取值范围。
求f(x+1)的定义域毫无疑问就是求内层函数的定义域。

来个例子
已知f(x)的定义域为[1949,2019]，求f(x+1)的定义域(就是求x的取值范围).
分析:

已知f(x)的定义域为[1949,2019]，即1949≤x≤2019
而f(x+1)的外层函数与f(x)是同一个函数，故f(x+1)的自变量x+1的取值范围为1949≤x+1≤2019
那么1948≤x+1≤2018即f(x+1)的定义域为[1948,2018]
……
改一下条件，求一个无限集的
1
2
3
4
5
6
7
8
已知f(x)的定义域为[-∞,2019)，求f(x+1)的定义域.
解: 
∵f(x)的定义域为[-∞,2019)
∴x≤2019
∵f(x+1)
∴x+1≤2019
∴x≤2018
∴f(x+1)的定义域为[-∞,2018)

水了半天……hahaha!

学区间时想到的：

我希望我们的区间是闭区间，因为我想取到你。